数列の謎 (Number Sequence Riddle)

[The main text of this post is in Japanese only.]


わが家の白花のシンビジウム、2016 年 2 月 27 日撮影。
Cymbidium with white flowers in my home; taken on February 27, 2016.

数列の謎

　最近読了した Calvin C. Clawson の "Mathematical Mysteries" (Plenum, New York, 1996) という本の文末に下記のようなパズルがあった。私は少し考えたが、分からなくて、最終ページにある答えを見てしまった。皆さんなら分かるだろうか。

Below is a simple number sequence. Think about it, ponder on it. When you have discovered the key, turn to the last page and confirm your answer …1
11
21
1211
111221
?

　最終ページにあったのは以下のもので、疑問符のもう一つ下までの答えも含まれているものの、次の数を導く式あるいは説明文はなく、ヒントのような形でもある。これをにらんでみると、演算を考えたのでは、答えが見つからないはずだと分かる。

one
one one
two ones
one two and one one
one one, one two, two ones
three ones, two twos, one one
one three, one one, two twos, two ones
　私はこれを見て、「前の数の数字の並びを説明しているのが次の数。説明といえば、普通、説明されるものと同等と思いがちだが、この例では、説明がどんどん変化して、また長くなっていく。説明されるものと説明とが必ずしも同等ではないことを示す教訓的な例か」と思った。

　上記の問題のところで「…」として省略した箇所には Conway sequence という名称が書いてあったので、これでインターネット検索をすると、'Look-and-say sequence' という、『ウィキペディア』英語版のページが出てきた。私が思った教訓については書いてないが、この数列の数学的な性質について書いてあって驚いた。

　なお、上記のページに相当する日本語版はまだないが、日本語でこの数列について書いたインターネット上の文は、「ルック&セイ数列」で検索するといくつか出てくる。例えば、こちら（2013 年の記事）には、『クーリエ・ジャポン』誌に載っていた、グーグルの入社面接試験に出た問題の一つとして紹介し、簡潔に説明してある。